Köklü Sayılar Nedir?
KPSS (Lisans) Matematik testinde hemen hemen her yıl mutlaka karşımıza çıkan köklü sayılar konusu, özünde üslü sayıların tersi olan bir matematiksel işlemdir. Matematiksel kavramlar içerisinde köklü sayılar konusu, sadece kendi başına bağımsız bir ünite olarak değerlendirilmemelidir. Aynı zamanda oran-orantı, birinci dereceden denklemler, basit eşitsizlikler ve sayı problemleri gibi birçok farklı konu başlığının içerisinde de yardımcı bir çözüm aracı, bir işlem adımı olarak sıkça karşımıza çıkmaktadır. Bu nedenle köklü ifadelerin mantığını, temel özelliklerini ve operasyonel kurallarını eksiksiz bir biçimde öğrenmek, genel matematik temelini güçlendirmek ve sınav netlerini artırmak açısından son derece değerlidir. Temelinde üslü sayıların ters fonksiyonu olarak tanımlanmış olan kök alma işlemi, aslında karşımızdaki bir değerin hangi temel sayının belirli bir kuvveti olduğunu bulma arayışıdır.
Herhangi bir n≥2 ve n∈N olmak koşuluyla, x n =a eşitliğini doğru kılan x sayısına, a sayısının n. dereceden kökü adı verilir ve gösterimi x= n a
şeklindedir. İşlem sırasında kök derecesi sembol üzerine yazılmadığında, bu derecenin her zaman gizli bir 2 olduğu kabul edilmelidir. Yani bu duruma özel olarak karekök adı verilir.
Tanım ve Gerçek Sayı Olma Şartı
Köklü bir ifadenin gerçek (reel) bir sayı belirtebilmesi ve matematiksel olarak bir anlam taşıması için kök derecesine çok dikkat etmek kritik bir temel kuraldır. Soruların tanım kümeleri genelde bu kural üzerinden inşa edilir.
- Kökün derecesi çift bir tam sayı ise (örneğin 2,4,6 gibi), kök içindeki matematiksel ifade veya sayı kesinlikle sıfırdan büyük veya en azından sıfıra eşit olmak zorundadır. Matematiksel dille ifade etmek gerekirse; n çift bir sayı iken, n x
ifadesinin reel sayılar kümesinde tanımlı olabilmesi için x≥0 şartı sağlanmalıdır. Negatif sayıların çift dereceli kökleri reel sayılar kümesinde tanımsızdır (bu tür sayılar karmaşık sayılar kümesine girer ki bu KPSS Lisans müfredatında yer almaz). 2. Kökün derecesi tek bir tam sayı ise (örneğin 3,5,7 gibi), kök içindeki ifade tüm reel sayı değerlerini kısıtlamasız olarak alabilir. Kök içi pozitif, negatif veya sıfır durumlarından herhangi birinde bulunabilir. Bu durumda herhangi bir kısıtlama söz konusu değildir.
Köklü Sayıların Temel Kuralları ve Özellikleri
1. Kök Dışına Çıkarma İşlemi
Bir ifade kök dışına çıkarılırken kök derecesi ile sayının kendi üssü birlikte dikkate alınır. Eğer kök derecesi tek sayı ise, içerideki sayı kendi orijinal işaretiyle birlikte aynen dışarı çıkar. Ancak kök derecesi çift sayı ise, sayı dışarıya mutlaka mutlak değer işlemi içerisinde çıkmak zorundadır. Bu kural, sınavlarda en çok tuzağa düşülen ve hata yapılan noktalardan biridir.
Çift derece kuralı: 2n x 2n
=∣x∣ Tek derece kuralı: 2n−1 x 2n−1
=x
2. Kök Derecesini Genişletme ve Sadeleştirme
Köklü sayılarda büyüklük sıralaması veya çarpma ile bölme işlemleri yaparken kök derecelerini birbirine eşitlemek mecburi hale gelebilir. Kök derecesi ve kök içindeki sayının üssü, aynı pozitif tam sayı ile aynı anda çarpılabilir veya bölünebilir. Bu işlem sayının matematiksel değerini hiçbir şekilde değiştirmez, sadece görünümünü farklılaştırır.
Genişletme Kuralı: n x m
= n⋅k x m⋅k
Köklü Sayılarda Dört İşlem
Toplama ve Çıkarma İşlemi
Köklü sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için kesin olarak sağlamamız gereken çok temel bir şartımız vardır: İşleme giren sayıların kök dereceleri ve kök içlerindeki ifadeler birbiriyle tamamen aynı olmak zorundadır. Eğer bu iki önemli şart aynı anda sağlanıyorsa, köklü ifadeler aynen tutulur, sadece katsayılar kendi aralarında toplanır veya çıkarılır.
Kural: a n x
+b n x
−c n x
=(a+b−c) n x
Eğer kök içleri ilk bakışta farklı görünüyorsa, kök dışına çıkarma kuralları uygulanarak ifadeler en sade hallerine getirilir ve kök içlerinin eşitlenip eşitlenemediğine dikkatle bakılır.
Çarpma İşlemi
Çarpma işlemi yapabilmek için toplama ve çıkarmadaki kadar katı kurallar yoktur; sadece kök derecelerinin aynı olması işlemi yapmak için yeterlidir. Kök dereceleri aynı olan ifadelerde, katsayılar kendi aralarında çarpılarak yeni katsayı olarak yazılır, kök içindeki sayılar da yine kendi aralarında çarpılarak ortak ve tek bir kök sembolü içine yerleştirilir.
Kural: a n x
⋅b n y
=(a⋅b) n x⋅y
Eğer kök dereceleri birbirinden farklıysa, öncelikle bir üst başlıkta bahsedilen genişletme kuralı uygulanarak kök dereceleri En Küçük Ortak Kat (EKOK) mantığıyla eşitlenir, ardından standart çarpma işlemi uygulanır.
Bölme İşlemi
Bölme işleminde de temel olarak çarpma işlemindeki mantık eksiksiz geçerlidir. Kök dereceleri birbirine eşit olmalıdır. Dereceler eşitse, pay ve paydadaki ifadeler aynı kök derecesi altında tek bir kök içerisine alınarak bölme işlemi gerçekleştirilir.
Kural: n y
n x
= n y x
(Burada y =0 olmalıdır.)
Paydayı Rasyonel Yapma (Eşlenik)
Matematiksel yazım kuralları gereği, kesirli bir ifadenin paydasında köklü ve irrasyonel bir sayı bırakılması tercih edilmez. Paydayı kökten kurtarmak ve tam sayı veya rasyonel sayı haline getirmek için, kesrin payı ve paydası, paydanın eşleniği ile genişletilir (çarpılır).
* a
1
formatındaki bir ifade doğrudan a
ile genişletilir. Sonuç a a
elde edilir. * a
− b
1
formatındaki ikili bir ifade ise a
+ b
ile genişletilir (İki kare farkı özdeşliği olan x 2 −y 2 =(x−y)(x+y) kuralı kullanılarak). Bu durumda sonuç a−b a
+ b
şeklini alır.
İç İçe Kökler Kuralı
Bazı özel sorularda iç içe verilmiş birden fazla köklü ifade bulunur. Bunları tek bir ortak kök altında birleştirmek, geri kalan işlemleri oldukça hızlandırır. İç içe geçmiş köklerin arasında hiçbir sayı veya değişken yoksa direkt olarak dereceler birbirleriyle çarpılarak tek köke indirgenir.
Kural: n m k x
= n⋅m⋅k x
Özel Kural: KPSS Lisans sınavında zaman zaman test edilen çok spesifik bir formül vardır. a±2 b
formundaki ifadelerde kök dışına çıkarma yapmak için pratik bir yol uygulanır. Çarpımları b'yi, toplamları ise a'yı veren iki pozitif tam sayı m ve n olarak seçilir. (Daima m>n kabul edilmelidir). $\sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{m} + \sqrt{n} \sqrt{a - 2\sqrt{b}} = \sqrt{m} - \sqrt{n}
Çözümlü Örnekler
Örnek 1
Soru: $\sqrt{75} + \sqrt{48} - 2\sqrt{27}$ işleminin en sade hali nedir?
Çözüm: Toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için kök içlerini aynı sayıya eşitlememiz gerekir. Verilen büyük sayıları asal çarpanlarına ayırarak tam kare olan çarpanları kök dışına çıkarmalıyız. 75$ sayısı 25⋅3 olarak yazılabilir. O halde 75
= 25⋅3
=5 3
olur. 48 sayısı 16⋅3 olarak yazılabilir. O halde 48
= 16⋅3
=4 3
olur. 27 sayısı 9⋅3 olarak yazılabilir. O halde 2 27
=2⋅ 9⋅3
=2⋅3 3
=6 3
olur. Bulduğumuz bu yeni ve sadeleşmiş değerleri asıl denklemde yerine yazalım: 5 3
+4 3
−6 3
Kök içleri ve dereceleri artık tamamen aynı olduğu için gönül rahatlığıyla sadece katsayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yapabiliriz: $(5 + 4 - 6)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}
Doğru Yanıt: $3\sqrt{3}$
Örnek 2
Soru: $\frac{12}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} - \frac{6}{\sqrt{3}}$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: Kesirli ifadelerin paydalarında köklü sayı bulunduğu için öncelikle paydaları rasyonel yapmak adına eşlenik ile genişletme işlemi yapmalıyız. Birinci kesri paydanın eksilisi verildiği için artılısı olan $(\sqrt{7} + \sqrt{3})$ ile, ikinci kesri ise kendisi olan $(\sqrt{3})$ ile genişleteceğiz.
Birinci kısmın düzenlenmesi: \frac{12(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} İki kare farkı kuralı gereğince payda $7 - 3 = 4$ değerine eşit olur. Kesrimizin yeni hali $\frac{12(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$ olur. Sayıları sadeleştirdiğimizde $3(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = 3\sqrt{7} + 3\sqrt{3}$ elde edilir.
İkinci kısmın düzenlenmesi: \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}
S \c
imdibuldu g ˘
umuzbud u ¨ zenlenmi s \c
ifadelerianai s \c
lemgere g ˘
ibirbirinden c \c
ıkaralım: (3\sqrt{7} + 3\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} 3\sqrt{7} + \sqrt{3}$
Doğru Yanıt: 3 7
+ 3
Sık Yapılan Hatalar
- Kök İçinde Toplama İşlemini Ayırma Hatası: Adayların en sık yaptığı hata a+b
şeklindeki bir ifadeyi doğrudan a
+ b
olarak dışarı çıkarmaya çalışmaktır. Kök içinde toplama veya çıkarma işlemi varken sayılar kesinlikle ayrı köklerde yazılamaz. (Örnek olarak 16+9
= 25
=5 sonucunu verirken, bunu yanlış kural ile ayırsak 16
+ 9
=4+3=7 olur. İki sonuç birbirinden tamamen farklıdır.) 2. Mutlak Değeri Gözden Kaçırmak: Harfli ve değişkenli ifadelerde x 2
=x yazmak sınavda çok büyük ihtimalle soruyu yanlış çözmenize yol açar. Doğru gösterim daima x 2
=∣x∣ şeklindedir. İşaretinin pozitif mi yoksa negatif mi olduğu baştan bilinmeyen değişkenli sorularda mutlak değer kullanılmaması tüm işlem zincirini bozar.
KPSS Sınav İpucu
KPSS Matematik testinde köklü sayılar ünitesinden genellikle eşlenik alma (paydayı kökten kurtarma), iç içe kökler veya köklü sayılarda sıralama konularından bir adet soru gelmektedir. Özellikle köklü ifadeleri sıralama sorularıyla karşılaştığınızda, eğer kök içindeki sayıları aynı formata getiremiyorsanız hiç vakit kaybetmeden doğrudan kök derecelerini EKOK yardımıyla eşitleme yoluna gidin. Kök dereceleri eşitlendikten sonra, sadece kök içindeki büyük sayının daha büyük olduğunu bilmek soruyu son derece rahat bir şekilde çözmenizi sağlayacaktır. Dört işlem sorularında ise mutlaka işlem önceliğine ve az önce belirtilen mutlak değer çıkarma kurallarına azami dikkat gösterin.