Köklü Sayılar Nedir?
Matematikte temel işlemlerin tersini almak ve bilinmeyen kuvvetleri çözmek amacıyla geliştirilen kök alma işlemi, üslü sayıların bir başka ifade biçimidir. n pozitif bir tamsayı ve a gerçek bir sayı olmak üzere, x üzeri n eşittir a denklemini sağlayan x değerine a nın n inci dereceden kökü denir. Bu ifade n a
şeklinde gösterilir.
Buradaki n sayısına kökün derecesi, a sayısına ise kök içindeki sayı (radikand) denir. Kök derecesi yazılmadığı durumlarda bu değer varsayılan olarak 2 dir ve karekök olarak adlandırılır. Köklü ifadeler aslında rasyonel üslü sayıların farklı bir gösterimidir. Bir köklü ifade üslü biçimde a 1/n olarak yazılabilir.
Köklü Sayıların Temel Özellikleri ve Kuralları
Köklü sayılarla işlem yaparken ve problemleri çözerken belirli kurallara dikkat etmek gerekir. Bu kurallar ifadeleri en sade hale getirmeyi ve işlemleri hızlandırmayı sağlar.
Kök Derecesi ile Üssün İlişkisi
Bir sayının üssü ile kökün derecesi aynı sayı ile sadeleştirilebilir veya genişletilebilir. n bir pozitif tamsayı olmak üzere, n a n
ifadesi kök derecesinin tek veya çift olmasına göre farklı sonuçlar doğurur.
Eğer kök derecesi tek sayı ise, içerideki sayı doğrudan dışarı çıkabilir: n a n
=a. Eğer kök derecesi çift sayı ise, sayı mutlak değer içinde dışarı çıkar: n a n
=∣a∣. Bu kural YKS sorularında sıklıkla karşımıza çıkan ve öğrencilerin en çok hata yaptığı noktalardan biridir.
Kök İçindeki Sayıyı Dışarı Çıkarma
Bir köklü ifadenin dışarı çıkabilmesi için çarpanlarından en az birinin tam kare (veya kök derecesine uygun tam kuvvet) olması gerekir. Örneğin, 75
ifadesini çözerken 75 sayısı 25 ile 3'ün çarpımı olarak yazılır. 25 sayısı 5 in karesi olduğu için kök dışına 5 olarak çıkar, dolayısıyla ifade 5 3
haline gelir.
Çarpma ve Bölme İşlemleri
Köklü sayılarda çarpma veya bölme yapabilmek için kök derecelerinin aynı olması şarttır. Dereceler aynı ise kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılır veya bölünür.
Çarpma kuralı: n a
⋅n b
=n a⋅b
Bölme kuralı: n a
/n b
=n a/b
(b sıfırdan farklı olmak koşuluyla)
Eğer kök dereceleri farklı ise, kesirli üslü sayı mantığıyla veya ortak bir derecede genişleterek dereceler eşitlenir ve ardından işlem yapılır.
Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Köklü sayılarda toplama veya çıkarma yapabilmek için hem kök derecelerinin hem de kök içindeki sayıların tamamen aynı olması gerekir. Şartlar sağlanıyorsa katsayılar toplanır veya çıkarılır, ortak kök aynen yazılır.
a x
+b x
−c x
=(a+b−c) x
Eğer kök içleri aynı değilse, öncelikle kök dışına çıkarma işlemleri yapılarak kök içleri aynı duruma getirilmeye çalışılır.
Paydayı Kökten Kurtarma (Eşlenik Kavramı)
İşlem sonuçlarında paydada köklü sayı bulunması genellikle istenmez. Paydayı rasyonel yapmak için ifade, paydayı kökten kurtaracak olan çarpanı ile genişletilir. Bu çarpana eşlenik denir.
Örneğin, paydasında x
bulunan bir ifade x
ile genişletilir. İki terimli ifadelerde ise iki kare farkı özdeşliğinden yararlanılır. ( a
− b
) ifadesinin eşleniği ( a
+ b
) dir. Bu iki ifade birbirleriyle çarpıldığında kök ortadan kalkar ve sonuç a−b olur.
İç İçe Köklü Sayılar
Sınavlarda sıklıkla karşılaşılan iç içe kök sorularında iki temel yöntem kullanılır.
Birinci yöntem, kökleri tek bir kök altında birleştirmektir. İç içe köklerde arada başka sayılar yoksa, kök dereceleri birbiri ile çarpılır: m n a
= m⋅n a
.
İkinci yöntem ise toplam veya çıkarma şeklinde verilen iç içe köklerdir. Örneğin a±2 b
biçimindeki ifadelerde, çarpımları b yi, toplamları a yı veren iki sayı bulunur. Bu sayılar m ve n ise, ifadenin sonucu m
± n
şeklinde yazılır.
Çözümlü Örnekler
Örnek 1
$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm: Öncelikle pay kısmındaki köklü ifadeleri en sade hale getirelim. $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}
Bude g ˘
erleriyerinekoydu g ˘
umuzdapaykısmı s \c
u s \c
eklegelir: 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}
S \c
imdiifadeyipaydayab o ¨ lelim: \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5$
Sonuç 5 olarak bulunur.
Örnek 2
$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$ ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm: Bu soru iç içe kök kuralı ile çözülür. Kök içindeki ifade a−2 b
formatındadır. Çarpımları 10 u, toplamları 7 yi veren iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar 5 ve 2 dir (5⋅2=10 ve 5+2=7).
Kural gereği bu ifade 5
− 2
şeklinde yazılır. Büyük sayı her zaman öne yazılır çünkü sonuç pozitif olmalıdır.
Sık Yapılan Hatalar
- Toplama ve çıkarma işlemlerinde kök içlerinin toplanması veya çıkarılması en sık yapılan hatalardandır. Örneğin 9
+ 16
=3+4=7 yapar; ancak 9+16
= 25
=5 yapar. Bu ikisi birbirine eşit değildir, kök içinde toplama varken ayrı ayrı kökler toplanamaz. * Çift dereceli kök dışına çıkarma yaparken mutlak değer kuralının unutulması, özellikle bilinmeyenli sorularda yanlış seçeneklerin işaretlenmesine yol açar. * Çarpma ve bölme yaparken kök derecelerinin farklı olmasına dikkat edilmemesi ve dereceler eşitlenmeden doğrudan içlerin çarpılması hata üretir.
YKS (TYT) Sınav İpucu
ÖSYM, köklü sayılar konusunu genellikle üslü sayılar ve çarpanlara ayırma konularıyla harmanlayarak sormayı sever. Sınavda karşınıza karmaşık görünen bir köklü sayı sorusu çıktığında, hemen panik yapmak yerine ifadeleri en temel asal çarpanlarına ayırın veya ortak paranteze alma yöntemini deneyin. Özellikle payda eşitleme veya eşlenik sorularında adımları hızlı ve hatasız yapmak için temel özdeşlikleri iyi bilmek zaman kazandıracaktır. Sınav tarihlerindeki olası güncellemeler ve resmi açıklamalar için her zaman ÖSYM'nin duyurularını takip ediniz.