Bu konuda ne öğrenirsin?
DGS sayısal bölümünün vazgeçilmez konularından biri olan EBOB-EKOK, sayıların ortak katları ve bölenleri arasındaki ilişkiyi anlamanızı sağlar. Bu ünitede, iki veya daha fazla pozitif tam sayının en büyük ortak böleni ile en küçük ortak katını nasıl bulacağınızı, asal çarpanlara ayırma yöntemini bu kavramlarla nasıl ilişkilendireceğinizi öğreneceksiniz. Soru çözerken pratik yapabileceğiniz yaklaşık 228 soru içeren bu alanda, özellikle problem türlerinde hangi yöntemi seçeceğinizi kestirebileceksiniz. Klasikleşmiş rutin hesaplamaların ötesine geçerek, sınavlarda karşınıza çıkabilecek periyodik durumlar, parça-bütün ilişkileri ve kalanlı bölme problemlerini çözme becerisi kazanacaksınız. Sayı kümeleri arasındaki bu temel köprüyü kurarak, sayısal netlerinizi kalıcı bir şekilde artırmanın yollarını keşfedeceksiniz.
EBOB ve EKOK kavramları sadece sınavın bir parçası değil, aynı zamanda sayı teorisinin temel yapı taşlarıdır. Bu üniteyle birlikte sayıların iç dünyasına yolculuk yapacak, sayıları sadece birer nicelik olarak değil, çarpanlarına ayrılmış birer yapı olarak görmeye başlayacaksınız. Örneğin, bir sayının kaç farklı pozitif böleni olduğunu, asal çarpanlarının kuvvetleri üzerinden saniyeler içinde hesaplayabilecek; böylece sayıların "parmak izini" çıkarma yeteneğine erişeceksiniz. Problem çözme yeteneğinizi matematiksel bir vizyonla birleştirerek, karmaşık gibi görünen soruların aslında ne kadar basit temellere dayandığını fark edeceksiniz.
Temel kavramlar
EBOB, yani En Büyük Ortak Bölen, verilen iki veya daha fazla tam sayıyı kalansız olarak bölebilen pozitif tam sayıların en büyüğüdür. Sayıları asal çarpanlarına ayırdığımızda, ortak olan asal çarpanlardan üssü küçük olanların çarpımı bize EBOB değerini verir. Aralarında asal sayıların EBOB değeri her zaman bire eşittir; çünkü bu sayıların 1 dışında ortak hiçbir böleni yoktur. EBOB, matematikte "bölüşme", "paylaştırma" ve "sınırlandırma" süreçlerinin anahtarıdır. İki sayının EBOB’u hesaplanırken, sayıların en küçük asal çarpanlarından başlayarak ortak olanları belirlemek en sağlıklı yöntemdir. Eğer sayılardan biri diğerinin tam katıysa, bu durumda küçük olan sayı otomatik olarak EBOB değerine dönüşür; bu pratik bilgi sınavda ciddi bir zaman kazancı sağlar.
EKOK, yani En Küçük Ortak Kat, verilen sayıların ortak katları içinde pozitif olan en küçük değerdir. Asal çarpan algoritmasında tüm asal çarpanların (hem ortak olanların hem de olmayanların) en büyük üsleri alınarak hesaplanır. İki doğal sayının çarpımı, bu sayıların EBOB değeri ile EKOK değerinin çarpımına eşittir. Bu kural, özellikle bilinmeyenli sorularda hayat kurtaran pratik bir denklemdir. EKOK, matematikte "birleşme", "buluşma" ve "periyodik yineleme" süreçlerinin temsilcisidir.
Sözel problemlerde yaklaşım belirlerken temel bir kural vardır: Büyük parçalardan küçük parçalar elde ediliyorsa yani bir bütün parçalara ayrılıyorsa EBOB kullanılır. Örneğin, çuvaldaki pirinçler eşit poşetlere doldurulacaksa, kumaşlar eşit parçalara bölünecekse veya tarlanın etrafına eşit aralıklarla direk dikilecekse ortak bölen aranır.
Küçük parçalardan büyük bir bütün veya ortak buluşma noktası oluşturuluyorsa EKOK kullanılır. Otobüslerin aynı anda tekrar hareket etmesi, zillerin birlikte çınlaması ya da kutuların üst üste dizilerek aynı yüksekliğe ulaşması gibi durumlarda ortak kat hesabı yapılır. Ayrıca, periyodik olarak tekrar eden durumlar (nöbet tutma, ilaç içme, devirli ışıklandırmalar) doğrudan EKOK mantığıyla çözülür.
Sık yapılan hatalar
Öğrencilerin bu ünitede en sık düştüğü tuzakların başında, problem metnini okurken "büyük" kelimesini görüp hemen EBOB, "küçük" kelimesini görüp EKOK ataması yapmak gelir. Oysa ki zillerin tekrar ne zaman birlikte çalacağı sorusu küçük bir zaman biriminden geleceğe (büyüğe) doğru gittiği halde EKOK ile çözülür. Kelime ezberlemek yerine olayın mantığını kavramalısınız. Problemdeki "bütün" mü oluşuyor yoksa "parça" mı ayrılıyor sorusunu kendinize sorun; odak noktanız parçanın büyüklüğü değil, işlemin yönü olmalıdır.
Bir diğer hata, aralarında asal sayılar ile asal sayıları birbirine karıştırmaktır. Asal sayıların sadece 1'e ve kendisine bölündüğünü bilirken, aralarında asal olan sayıların kendilerinin asal olması gerekmez; ortak böleni sadece 1 olan her ikili aralarında asaldır. Örneğin 8 ve 9 sayıları asal değildir, ancak aralarında asaldır. Bu ayrımı yapmak, özellikle EKOK sorularında çarpanları doğru tanımlamanızı sağlar.
Birlikte iş yapma veya periyodik tekrar problemlerinde, başlangıç anını hesaba katmamak sık yapılan bir diğer adımdır. İlk kez birlikte zilin çalması ile ikinci kez çalması arasındaki süre hesaplanırken, ilk ortak buluşma anının sıfırıncı saniye olduğu gözden kaçırılmamalıdır. Birçok öğrenci, "başlangıçta birlikte çaldılar" ifadesini unutarak, sadece EKOK değerini cevap olarak işaretler; oysa "bundan sonra kaçıncı kez" gibi ifadeler ek bir toplama işlemi gerektirebilir.
Hesaplama aşamasında asal çarpan algoritmasını hızlı yaparken işlem hatası yapmak da puan kaybettirir. Ortak çarpanları seçerken üssü küçük olan yerine yanlışlıkla büyük olanı almak EBOB'u hatalı bulmanıza yol açar. Benzer şekilde, EKOK alırken tüm asal çarpanları dahil etmeyi unutmak, bulunan sonucun yanlış olmasına neden olur. İşlem yaparken asal sayı listesini (2, 3, 5, 7, 11...) yanınızda bulundurmak, çarpanlara ayırma sürecini hızlandıracaktır.
Nasıl çalışılır?
Öncelikle konunun teorik altyapısını ve asal çarpanlar üzerindeki gösterimlerini iyice özümseyin. Formüllerin nereden geldiğini anlamak ezber yapmanızı engeller. Sayıların asal çarpanlarına ayrılmış hali ile EBOB ve EKOK arasındaki ilişkiyi bir kez zihninize oturttuğunuzda, formülü unutma korkunuz kalmayacaktır.
Formülü öğrendikten sonra, doğrudan formül uygulanan temel düzeydeki test sorularıyla pratik yapın. Sayıları çarpanlarına ayırmayı refleks haline getirin. Bir sayıyı gördüğünüzde onun kaçın çarpımı olduğunu analiz edebilmek, sizi sınavlarda rakiplerinizin önüne geçirecektir. 100’e kadar olan sayıların asal çarpanlarını hızlıca görebilmek, EBOB-EKOK sorularında hız kazanmanızı sağlayacaktır.
Temel testler bittikten sonra yaklaşık 228 soruluk soru bankası havuzundaki orta ve zor seviye problemlere geçin. Parça-bütün ve periyodik durumları ayırt etme becerinizi bu aşamada pekiştirin. Problemleri çözerken, verilerin sizi hangi matematiksel operasyona yönlendirdiğini not alarak çalışın.
Çözemediğiniz veya yanlış yaptığınız soruların çözüm videolarını izleyin ya da hocalarınıza danışın. Hangi mantık hatasından dolayı yanlış yaptığınızı defterinize not edin. Yanlış yaptığınız soru tipi, aslında öğrenmeniz gereken en önemli konudur. O soruyu doğru yapana kadar o konu başlığını tekrar edin.
Sınava yakın bir zamanda sadece bu üniteden oluşan karışık mini denemeler çözerek süre tutun. Zaman baskısı altında doğru yöntemi seçip seçemediğinizi test edin. Unutmayın ki EBOB-EKOK soruları genellikle sınavın orta kısımlarında yer alır; burada kazanacağınız hız, sınavın sonuna doğru kalan geometri veya daha zor problemler için size zaman kazandıracaktır.
Mini kontrol
24 ve 36 sayıların EBOB değeri kaçtır? Cevap: 12
Aralarında asal iki sayının EKOK değeri 60 ise bu sayıların çarpımı nedir? Cevap: 60
Boyutları 12 cm ve 18 cm olan dikdörtgen levhalardan en küçük alanlı kare oluşturulursa karenin bir kenarı kaç cm olur? Cevap: 36 cm (12 ve 18'in EKOK değeri)